Rätsel: Zahlen auf der Stirn
Drei Personen sitzen im Kreis. Alle haben eine Zahl auf der Stirn, alle drei Zahlen sind verschieden und größer als Null.
- Person A hat die 20 auf ihrer Stirn kleben.
- Person B die 30.
- Die Zahl von Person C kennen wir nicht.
Es gibt einen externen Fragesteller. Dieser verrät noch, dass die Zahl einer Person die Summe der beiden anderen Zahlen bildet. Dann beginnt er mit der Fragerunde:
- Zunächst wird Person C nach der Zahl auf ihrer Stirn gefragt. Diese betrachtet die Häupter der anderen beiden Mitspieler und zuckt ratlos mit den Schultern.
- Danach ist Person A an der Reihe, doch auch diese weiß es nicht.
- Danach Person B, auch diese schüttelt unwissend mit dem Kopf.
In diesem Moment hebt Person C seine Hand und ruft: "Ich weiß meine Zahl!"
Wie ist Person C in diesem Moment auf ihre Zahl gekommen?
Dieses Rätsel ist nicht so leicht zu knacken! Tipp: Versetze dich in die Lage der jeweiligen Personen und vollziehe deren Überlegungen nach.
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-> C hat die 50 auf ihrer Stirn.
Bei der ersten Frage sieht C die 30 und die 20 vor sich. Er hat als mögliche Lösungen für die Zahl auf seiner eigenen Stirn die 10 und die 50 ausgerechnet, da ja eine der Zahlen die Summe der beiden anderen sein muss. Aber welche von den beiden Kandidaten oben an seiner Stirn prangt, weiß er nicht.
Vergegenwärtige dir, dass keine andere Zahl außer 10 oder 50 dafür in Frage kommt.
Nun ist Person A an der Reihe: Er sieht die 30 bei B und 10 oder 50 bei Person C. In beiden Fällen kann er nicht sicher darauf schließen, welche Zahl bei ihm selbst auf der Stirn klebt. Wenn C die "10" auf der Stirn hätte, käme bei ihm "40" oder "20" infrage, wenn C die "50" kleben hat, bliebe bei A die "80" oder die "20". Dies liegt immer daran, da ja eine der drei Zahlen die Summe der anderen beiden sein muss.
Als nun B aus den Zahlen auf Stirn A (die 20, die ja auch C sieht) und die für C unbekannte Zahl auf seiner Stirn sieht und auch nicht schlussfolgern kann, welche Zahl auf seiner eigenen (Bs) Stirn hängt, ist für C die Sache klar.
Er hatte ja schon erkannt, dass nur zwei Zahlen für ihn infrage kommen: 10 oder 50. Hätte B nun bei ihm die Zahl 10 gesehen und bei A die 20, dann wäre für B die Sache klar: Bei B hätte nur 30 auf der eigenen Stirn pappen können, da keine andere positive Zahl ansonsten die Summe bilden kann.
Da B aber ratlos verbleibt, weiß C nun, dass er die 50 auf der Stirn hat.
Denn bei C=50 und A=20 hat B noch die folgenden Möglichkeiten für sich selbst: 30 oder 70.
Eigentlich ganz logisch, oder ;-)
Eine kleine „Wissens-Tabelle“ für den Gedankengang
Das Rätsel ist geistig anspruchsvoll, weil man nicht nur rechnen, sondern überlegen muss, was die anderen wissen können. Eine kompakte Übersicht macht die Lösung zugänglicher:
| Zeitpunkt | Was C daraus weiß |
|---|---|
| C sieht 20 und 30 | Eigene Zahl ist 10 oder 50 |
| A weiß seine Zahl nicht | 10 und 50 bleiben weiterhin möglich |
| B weiß seine Zahl nicht | C kann nicht 10 haben |
| Schlussfolgerung | C muss 50 haben |
Der entscheidende Hinweis ist also nicht eine weitere Zahl, sondern das Nichtwissen von B.
Warum „alle Zahlen verschieden“ entscheidend ist
Eine unscheinbare Angabe in der Aufgabenstellung ist für die Lösung besonders wichtig: Alle drei Zahlen müssen verschieden sein.
Nehmen wir an, C hätte die 10 auf der Stirn. B sähe dann bei A die 20 und bei C die 10. Welche Zahl könnte B selbst tragen?
- 30 wäre möglich, denn 10 + 20 = 30.
- 10 könnte rechnerisch ebenfalls infrage kommen, denn 10 + 10 = 20.
Die zweite Möglichkeit scheidet aber aus, weil dann B und C dieselbe Zahl hätten. Da laut Aufgabenstellung alle Zahlen verschieden sind, bliebe für B nur die 30. B müsste seine Zahl also kennen.
Gerade deshalb ist sein Schulterzucken für C so aufschlussreich.
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